Question

如图:矩形ABCD的边AB=1,BC=2。点P是AD上一动点,求3BP+DP的最小值?

Answer 1

问：如图:矩形ABCD的边AB=1,BC=2。点P是AD上一动点,求3BP+DP的最小值?

答：我们可以使用坐标系来解决这个问题。假设A(0,0)，BC在坐标轴上，那么B的坐标就是(0,2)。设P的坐标为(x,y)。由于BP的长度为3，根据勾股定理可得：√[(x-0)² + (y-2)²] = 3 化简得 (x-0)² + (y-2)² = 9 再考虑DP的长度，D的坐标为(1,0)，根据勾股定理可得：√[(x-1)² + (y-0)²] = DP 即 √[(x-1)² + y²] = DP 我们要求的是3BP+DP的最小值，代入上面两个等式可以得到：3BP + DP = 3√[(x-0)² + (y-2)²] + √[(x-1)² + y²]为了求最小值，我们将上面的等式两边平方，得到：(3BP + DP)² = 9[(x-0)² + (y-2)²] + [(x-1)² + y²]化简得：9(x-0)² + 9(y-2)² + (x-1)² + y² 化简并结合同类项：10x² + 19y² - 36y + 4 为了求最小值，我们可以先对x求导，然后令导数等于0。

答：d(10x² + 19y² - 36y + 4)/dx = 20x = 0 解得 x = 0 将x = 0代入原方程可以得到：10(0)² + 19y² - 36y + 4 = 0 化简得：19y² - 36y + 4 = 0 通过求解这个二次方程，可以得到y的值。代入原方程可以得到x的值。将x和y的值代入3BP + DP 的表达式，即可得到最小值。

问：那请问最后结果是多少呢

问：老师，原题就是这个，你看一下是最后一问。

答：好的

问：好的，谢谢

答：第二个

答：做射线

答：另角度是45度

答：类推

答：第三个就另角度为60度

答：其他的思路是一样的

问：老师，您好！就是第三问不会做，您能解答一下吗？谢谢！就是3BP+DP的最小值。

答：好的

答：由题意可知，点D为矩形ABCD的中点，且AB=1，BC=2。设动点P的横坐标为x，则DP = x。又因为点P在线段AD上，所以AP = 1-x。根据三角形不等式，有3BP + DP ≥ 3BD，即3BP + x ≥ 3×(1/2) = 3/2。又因为点B、P、D三点共线，所以BP = BD + DP，即BP = (1/2) + x。代入上式，得到(1/2) + x ≥ 3/2，解得x ≥ 1。即动点P的横坐标x的取值范围是[1，+∞)。当x = 1 时，3BP + DP = 3×((1/2) + 1) + 1 = 5/2。所以3BP + DP的最小值为5/2。