Question

若直线y=x+m 与椭圆4x^2 +y^2 =4 相交于A,B两点.

求(1) 实数m的取值范围；
（2）弦AB的中点P的轨迹方程

Answer 1

(1)
将直线方程代入椭圆方程并整理得：5x²+2mx+m²-4=0
要保证此直线与椭圆有两个交点，则判别式大于0

(2m)²-4*5*(m²-4)>0
80-16m²>0
解得：-√5<m<√5

(2)设A,B交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),中点坐标为(x,y)

将AB点坐标代入椭圆哗燃厅方程：
4x1²+y1²=4
4x2²+y2²段滚=4
两式相减：4(x1²-x2²)+(y1²-y2²)=0

4(x1+x2)(x1-x2)=-(y1+y2)(y1-y2)
4*(x1+x2)/(y1+y2)=-(y1-y2)/(x1-x2)

x1+x2=2x,y1+y2=2y,右式=直线的斜率=1

所以：4*2x/2y=-1,4x=-y

中点轨迹为一乱隐条直线：y=-4x