Question

已知,如图,在梯形ABCD中,AB‖DC,AD=BC,AC⊥BD于O,BF⊥DC于O，求证AB+DC=2BF

Answer 1

如下图，做BG//AC，连CG，则ABGC为平行四边形，BG=AC，AB=CG。因为ABCD是等腰梯形，所以BD=AC，故BG=BD。又AC垂直于BD，所以BG垂直于BD，故三角形GBD为等腰直角三角形，故设BD=BG=1，根据勾股定理，有DG=根号2，根据面积相等，BD*BG=DG*BF，求的BF=（根号2）/2，即DG=2BF=AB+DC，望采纳

Answer 2

这个题目的关键在于利用好AC垂直于BD，只要知道怎么添辅助线就很简单。
延长DC，过点B作AC的平行线交DC延长线于G。
这样ABGC很明显是个平行四边形 AC=BD=BG AB=CG 而且由AC，BD垂直得到角DBG=90
那么三角形DBG中，由于BD=BG，角DBG=90 所以DG=2BF 那么DC+CG=2BF
由此DC+AB=2BF

Answer 3

过点B作AC平行线BE，交DC延长线于点E，则四边形ABEC是平行四边形，所以AB=EC，因此AB+DC=DE，在△ADC和△BCD中，有AD=BC，∠ADC=∠BCD，CD=DC，所以△ADC≌△BCD，
所以AC=BD，因此由AC=BE可得BD=BE，由于AC//BE，AC⊥BD，所以BD⊥BE，因此△BDE是等腰直角三角形，由于BF⊥DE，所以△BFD，△BFC均是等腰直角三角形，所以BF=DF，BF=FE，所以BF=0.5DE，即有AB+DC=2BF。

Answer 4

延长DC，过点B作AC的平行线交DC延长线于G。
在平行四边形ABGC中 AC=BG AB=CG 由AC，BD垂直得到角DBG=90
那么三角形DBG中，由于BD=BG，角DBG=90 所以DG=2BF 则DC+CG=2BF
由此DC+AB=2BF