Question

考研 高数，关于2、3重积分，曲线 曲面积分 ，的对称问题。 这块我不太理解，尤其是 三重的 和曲面积分，

考研 高数，关于2、3重积分，曲线 曲面积分 ，的对称问题。
这块我不太理解，
尤其是 三重的 和曲面积分，
是关于 例如：积分区间 xy面对 被积的z?
积分区间 x 对应 被积yz？
有时候还说x、y、z关于 原点 各个什么都对称 ，然后怎样怎样。。。
图片里，粉色部分x^2=y^2=z^2 :是因为什么？
x=y=z=0 :是因为 关于面yz,zx,xy对称，且为奇函数对么？
xy=xz=yz=0 :原因同上 对么？

Answer 1

多元函数积分的对称性有两种：奇偶对称性、轮换对称性，这些对称性适用于二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分
下面以三重积分和第一类曲面积分对称性为例来讲，二重积分和第一类曲线积分类似
1、奇偶对称性原则
当积分区域关于xOy面对称时，可考查z的奇偶性；
当积分区域关于xOz面对称时，可考查y的奇偶性；
当积分区域关于yOz面对称时，可考查x的奇偶性；
比如本题积分区域是一个球面，显然以上三条均是满足的，因此看哪个变量的奇偶性均可，xy关于x是奇函数，关于y也是奇函数，因此无论看x还是y均可知积分结果为0；xz和yz类似处理。

2、轮换对称性原则
当积分区域中x，y，z三个字母（或其中两个）进行轮换后，如果区域无变化，则结论是被积函数中的x，y，z也可进行相应的轮换。
比如本题积分区域是一个球面，显然将x，y，z进行轮换后这个球面没有任何变化，因此得出
∫∫ f(x,y,z)dS=∫∫ f(y,z,x)dS=∫∫ f(z,x,y)dS
这样也就得出了本题中的：∫∫ x² dS=∫∫ y² dS=∫∫ z² dS这个结论。
再举个例子，如果题目中积分曲面加一个条件：x²+y²+z²=R²，z≥0
此时看到，如果x，y，z轮换后，这个曲面是有变化的，因此上面的结论就不成立了，
不过要注意：由于x，y交换后曲面无变化，因此∫∫ x² dS=∫∫ y² dS仍是成立的。

最后再提醒一下，以上所有结论对于第二类曲线积分和第二类曲面积分不成立。

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