Question

大学复变函数，两道题目，都是求连续性的





Answer 1

(1)参考http://zhidao.baidu.com/question/1306837587002521779

(2)容易看出函数

在z≠0时是连续的，只要考虑在z=0处的连续性即可。由于f(0)=0，因此只要考虑f(z)在0处的二重极限。虽然我们希望这个二重极限不存在，但是尝试了直线、抛物线乃至一般的幂函数收敛方式都无法归谬，因此考虑证明这个极限是存在的。考察函数f(z)的特点，令分子和分母同时除以y^4，得到

到这一步距离成功已经不远了。可以看出，上式成立的前提是y≠0.当然y=0的时候，从等号左边可以看出，整个分式的值为0.那么现在只要考察等号右边的分式。

对于右边的分式，当x和y趋于0时，不管采用何种收敛方式，(1/y)²都是无穷大量。下面再来看(x/y)的情况。如果x/y是有界量(包括无穷小量)，那么分母为无穷大量，分子为无穷小量，因此分式收敛于0；如果x/y是无穷大量(设阶数为1)，那么分子是三阶无穷大量，分母至少是四阶无穷大量，所以整个分式收敛于0.综上所述，整个分式在0处的二重极限为0，因此f(z)在z=0处连续。