Question

已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的焦距为2,离心率e=1/2,直线l:y=k(x-1)(k≠0)

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的焦距为2，离心率e=1/2,直线l:y=k(x-1)(k≠0）与椭圆E交于不通的两点P,Q
(1)求椭圆E的方程
（2）求线段PQ的垂直平分线在y轴上截距的取值范围

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Answer 1

(1)由以下三式可确定椭圆参数：
2c=2（焦距定义）
e=c/a=1/2（离心率定义）
a^2=b^2+c^2（参数关系）
解得a^2=4，b^2=3
所以椭圆E：x^2/4+y^2/3=1

(2)令P(x1,y1)，Q(x2,y2)
将直线L方程代入椭圆E方程有(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12
由韦达定理有x1+x2=8k^2/(3+4k^2)（I）
因P、Q在直线L上，则有
y1=kx1-k
y2=kx2-k
两式相加并结合(I)得y1+y2=k(x1+x2)-2k=-6k/(3+4k^2)（II）
由中点坐标公式并结合（I）（II）得到PQ中点坐标
(x1+x2)/2=4k^2/(3+4k^2)，(y1+y2)/2=-3k/(3+4k^2)

易知PQ垂直平分线的斜率为-1/k
用斜截式令PQ垂直平分线方程为：y=-(1/k)x+m
因PQ中点在PQ垂直平分线上，则坐标满足方程：
-3k/(3+4k^2)=-(1/k)*[4k^2/(3+4k^2)]+m
整理得 4mk^2-k+3m=0
若m=0，则k=0，这与题设矛盾
所以m≠0，而k存在，于是⊿=1-48m^2≥0
解得-√3/12≤m<0或0<m≤√3/12