Question

已知:如图,ab为圆o的直径,点d是圆上一点,点c是弧bd中点，且de

已知:如图,ab为圆o的直径,点d是圆上一点,点c是弧bd中点，且de垂直于ab于e，交弦ac于f，分别延长线段ed和ab，与过点c的圆o的切线交于点h，g。
（1）找出图中与ch相等的线段，并证明。
（2）证明ad乘he=hg乘ae
（3）bg=2，cg=2倍根号3，求hd

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Answer 1

(1)ch=cf. 设圆心为O连接CO，△GCO∽△GBH，∠COG=∠EHG。
又∠DAE=∠COG，所以∠EHG=∠EAD，所以Rt△DAE∽Rt△GHE，
所以∠EDA=∠EGH。
又∠HCF=∠EGH+∠CAG，∠HFC=∠DAE+∠EDA。
因为C是弧BD的中点，所以∠CAG=∠DAE。所以∠HFC=∠HCF。所以HE=HC。
(2)设圆心为O，连接CO，△GCO∽△GBH，∠COG=∠EHG。又∠DAE=∠COG，所以∠EHG=∠EAD，所以Rt△DAE∽Rt△GHE，所以AD/GH=AE/HE，也即AD乘HE=HG乘AE.

(3)设圆的半径为R，由Rt△OCG得（2+R）²-R²=（2倍根号3）²=12，所以R=2。所以∠CGO=30°
由（2）得AD=R=2，AE=AD/2=1，DE=根号3，所以EG=2+2XR-1=5，所以HE=5/(2倍根号3）
HD=HE-DE=（7倍根号3）/2.