Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线垂直于D，BE和过点C的切线垂直于E.求证

：（1）AC平分∠DAO；（2）BC平分∠EBO；（3）DC=CE；（4）AD+BE=AB

Answer 1

证明：连接OC，延长AB、DE，交于点F

1. ∵DE为圆切线，∴OC⊥DE

   又因为AO=CO,所以∠OAC=∠OCA

   ∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠OCA=90°

   ∴∠DAC=∠OCA=∠OAC

   所以AC平分∠DAO

2. 同1

3. ∵AD⊥DE, OC⊥DE, BE⊥DE

   所以 AD∥OC∥BE

   又∵OA=OB

   ∴DC=CE

4. ∵AD∥OC∥BE

   ∴CE:CD=(OC-BE):(AD-OC)=1

   即 OC-BE=AD-OC ，2OC=AD+BE

   所以 AD+BE=AB

Answer 2

证明：
　　（1）因DE为过C点切线，所以角ACD所含的弧为AC弧，由切线定理得，角ACD=角ABC；
　　　　在圆O中，AB为⊙O的直径，所以三角形ABC是以角ACB为直角的直角三形，
　　　　所以角ABC+角CAB=90°；
　　　　又因AD垂直过点C的切线，所以三角形ADC是以角ADC为直角的直角三角形，
　　　　所以角ACD+角CAD=90°；
所以角CAB=角CAD，即AC平分∠DAO；
　　（2）思路同1；
　　（3）连接OC，因O为圆心，C为切点，所以OC垂直切线，又因AD和过点C的切线垂直于D，BE和过点C的切线垂直于E，
　　　　所以AD、OC、BE相互平行；
　　　　因AB为⊙O的直径，O为圆心，所以AO等于BO，
　　　　综上所述：在梯形ABED中，OC为中位线，所以DC＝CE；
　　（4）由（3）可知AD+BE＝2OC，又因OC为半径，AB为直径，所以AD+BE=AB。

　　　这是个人观点，呵呵！证明步骤自己补全吧，

Answer 3

1. 连接CO,∠ACE=∠ADC+∠DAC(三角形的外角等于不相邻两个内角和)=∠ACO+∠OCE

   由于，AD垂直于DE,则∠ADC=90°，

   由于，DE是切线，则∠OCE=90°，

   所以∠DAC=∠ACO

   △AOC是等腰三角形，所以∠ACO=∠CAO,

   所以∠DAC=∠CAO   则AC平分∠DAO

2. 同1的思路