Question

已知:如图,在三角形ABC中,角C=90度,AC=BC,点D在BC上,AC+CD=AB,求证:AD是角BAC的平

分线

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

延长AC到E，使CE=CD，则∠E=∠CDE=1/2∠ACB=45°，
连接ED并延长交AB于F，则∠BDF=∠CDE=45°，
∴∠EFB=90°=∠ECB，
连接BE，由AC+CD=AB得AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，又EB=EB，∴RTΔCEB≌RTΔFBE(HL)，
∴∠CBE=∠FEB，∴DE=DB，
在ΔAED与ΔABD中，
AE=AB，AD=AD，DE=DB，
∴ΔAED≌ΔABD，
∴∠DAE=∠DAB，
即AD平分∠BAC。

Answer 2

证明：过D点作AB的垂线DM
M是垂足，
因为在△ABC中,∠C=90,AC=BC，即△ABC是等腰三角形
于是∠B=45°，再有DM垂直AB，即有∠DMB=90°
于是∠MDB=180°-∠B-∠DMB=180°-45°-90°=45°=∠B
从而得出△BDM也是等腰三角形
于是BM=DM
如果令AC=x,
那么就有BC=x,AB =√2x
DC=(AC+DC)-AC=AB-AC= √2x-x ①
BD=BC-DC=x-( √2x-x)=2x-√2x
DM=BD/√2=(2x-√2x)/√2=√2x-x ②
注意到①②当中
DC=√2x-x ,DM=√2x-x
于是，就是DC=DM
还有知道了∠DMA=∠DAC=90°，公共边AD=AD
于是△AMD≌△ACD
从而对应角相等
即∠DAM=∠DAC
就是AD是∠BAC的角平分线

追问

不要勾股定理，只要证明

追答

不用勾股定理不行的
证明：过D点作AB的垂线DM
M是垂足，
因为在△ABC中,∠C=90,AC=BC，即△ABC是等腰三角形
于是∠B=45°，再有DM垂直AB，即有∠DMB=90°
于是∠MDB=180°-∠B-∠DMB=180°-45°-90°=45°=∠B
从而得出△BDM也是等腰三角形
于是，就是DC=DM
还有知道了∠DMA=∠DAC=90°，公共边AD=AD
于是△AMD≌△ACD
从而对应角相等
即∠DAM=∠DAC
就是AD是∠BAC的角平分线

这种证法中DC=DM这一过程中任然要用到沟谷定理