Question

函数f(x)=(ax^2+2)\(3x+b)是奇函数且f(2)=5\3 (1)实数a,b的值（2）判断f(x)在(-∞,-1)上的单调性并证明

函数f(x)=(ax^2+2)\(3x+b)是奇函数且f(2)=5\3 (1)实数a,b的值（2）判断f(x)在(-∞,-1)上的单调性并证明

Answer 1

f(x)=(ax^2+2)/(3x+b)
f(-x)=(ax^2+2)/(-3x+b)=-f(x)=-(ax^2+2)/(3x+b)=(ax^2+2)/(-3x-b)
所以得到b=0;
f(2)=5/3, (2a+2)/(3*2)=5/3, 2a+2=10, a=2;
所以 f(x)= (2x+2)/(3x),
（2）在（-∞，-1）上是增函数。
设任意x1,x2∈(-∞,-1),且x1<x2<-1
f(x1)-f(x2)
=(2x1^2 +2)/(3x1)-(2x2^2+2)/(3x2)
=(2/3)[x2(x1^2+2)-x1(x2^2+2)]/(x1x2)
=(2/3)[x2x1^2+2x2-x1x2^2-2x1]/(x1x2)
=(2/3)[x1x2(x1-x2)-(x1-x2)]/(x1x2)
=(2/3)(x1-x2)(x1x2-1)/(x1x2)
x1<x2, x1-x2<0,
x1<-1 x2<-1, -x1>1,-x2>1, (-x1)(-x2)>1, x1x2>1>0
x1x2-1>0
所以，f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以结论成立。