Question

如图所示，抛物线y=-（x-√3 m）²（m＜0）的顶点为A，直线l：y=（√3 /3）x-m与y轴交点为B

1.写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）
2.证明A在直线l上，并求∠OAB的度数
3.动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点德坐标，若不存在，请说明理由。

注：第1，2 题我会做的，第3题不会做

以下是第一题和第二题的答案，第三题可能需要参考到（第一题和第二题的答案绝对正确）
1.对称轴：x=√3 m，A（√3 m，0）
2.当x=√3 m，y=√3/3 ·√3 m-m=0
∴点A在l上，
∵y=√3/3x-m与y轴交于B点
∴B（0，-m） ∴BO=m
∵AO=√3 m，∠AOB=90°
∴AB=2m ∴∠OAB=30°

截止到2012.11.26 上午5:20 ，各位高手帮个忙啊，万分感谢，一定加分呐！！！
图片上所添的线，只是其中一个解的添线方法

Answer 1

3. OA = -√3m, OB = -m
(i) AQ = OB = -m
Q(√3m, m),
过Q作直线y = m, 于抛物线交于P(两个交点P, P'均成立，这里只写一个). 此时只需PQ = OA = -√3m即可
y= -(x-√3m)² = m
x = √3m - √(-m) (另一点P'自己做)
PQ = √3m - [√3m - √(-m)]= √(-m) = -√3m
m = -1/3 (m = 0舍去)
P(-2√3/3, -1/3) (另一点P'自己做)

(ii) AQ = OA = -√3m
Q(√3m, √3m)
过Q作直线y = √3m, 于抛物线交于P(两个交点P, P'均成立，这里只写一个). 此时只PQ = OB = -m即可

y= -(x-√3m)² = √3m
x = √3m - √(-√3m) (另一点P'自己做)
PQ = √3m - [√3m - √(-√3m)] = √(-√3m) = -m
m = -√3 (m = 0舍去)

P(-3-√3, -3) (另一点P'自己做)

(iii) AB = √(OA² + OB²) = √(3m² + m²) = -2m
要使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等, 须AQ = -2m (斜边), ∠PAQ = 30˚或∠PAQ = 60˚
(a) ∠PAQ = 30˚
此时B, A, P共线, 联立抛物线和直线l的方程, P的横坐标x = √3m - 1/√3 (舍去x = √3m, 点A)
P的横坐标y = -1/3
直线l的斜率= √3/3, PQ⊥PA, PQ的斜率= -√3
PQ的方程: y + 1/3= -√3(x -√3m + 1/√3)
与对称轴的交点为(√3m, -4/3)
-4/3 = 2m, m = -2/3
P(-√3, -1/3)
P'与P关于对称轴对称，自己做。

(b)∠PAQ = 60˚
PA的斜率 = √3, PQ⊥PA, PQ的斜率= -√3/3
其余与(a)类似, m = -2
P(-3√3, -3)
P'与P关于对称轴对称，自己做。

共有4个m值, 8个点.
另见图。4个分别为m = -1/3(天蓝), m = -√3(红), m = -2/3(绿), m = -2(黑)