Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图1所示

1 求证EG=CG且EG⊥CG；
2 将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图2所示，求证EG=CG且EG⊥CG。
左边是图1 右边是图2
要过程好的再加50

Answer 1

证1，连接AG，并以G向AB做垂线交与H，可知，EF，HG，AD相互平行，且G为FD的中点，所以AH=HE，又因为HG为公共边，∠AHG=∠EHG=90度，所以△AHG全等△EHG，所以AG=CG，又因为△AGD全等△CGD(边角边)，所以EG=AG=GC
证2，在图2上做辅助线，将DC延长到H使CH=BE并链接HG，EH，因为BE，CH相等且都垂直与BC，所以FE和EH是一条直线，且△FEG全等与△HCG，FG=HGEG=CG为前半部分所证，又因为∠BFE=45度，所以∠FGE+∠EGH=∠FGH=90度，又△FEG全等与△HCG，∠FGE=∠HGC，所以带入前面式子∠FGE+∠EGH=∠HGC+∠EGH=∠EGC，所以EG⊥CG可证。
希望对楼主有帮助。

追问

第一问中怎样通过G是FD中点和互相平行证出AH等于HE

追答

G是中点且AD，HG平行，以F向两平行线做垂线，这两垂线为垂线的比是1：2，可得这得HG分别到AD和EF的距离相等，所以QH等于HE（QH，HE也为HG分别到AD和EF的距离）

Answer 2

解：（1）EG=CG，EG⊥CG．（2分）
（2）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=
1
2
FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=
1
2
∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分