Question

三重积分先二后一截面法问题。

求∫∫∫3zdv，积分区域是Ω是z=1－x²－¼y²（0≦z≦1),我知道可以变成 3∫zdz∫∫dxdy，而后面与z有关的截面不会求了，谁能说一下这个问题，同时一般三重积分像椎体域或者球形域等用先二后一方法中那个“二”的截面积算法。

Answer 1

首先那个截面必须是一个你很熟悉的平面图形，面积容易计算。
截面的写法其实很简单：就是侧面的曲面方程，只不过做截面时z当作常数看待。
因此截面方程为：x²+y²/4=1-z，这是一个椭圆，a=√(1-z)，b=2√(1-z)
椭圆面积为：πab=2π(1-z)

因此原式=3∫[0→1] z dz∫∫dxdy
=6π∫[0→1] z(1-z) dz
=6π[(1/2)z²-(1/3)z³] |[0→1]
=π

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