Question

设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有非零解的充分必要条件是（）

1A的列向量组线性无关
2A的列向量组线性相关
3A的行向量组线性无关
4A的行向量组线性相关

答案是D，为什么？顺便也请解释一下其他项

Answer 1

设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有非零解的充分必要条件是A的行向量组线性相关。

根据定理：齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r（A）<A的列数；这个定理也可叙述为：齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是r（A）等于A的列数。

就像求线性相关一样，把A的列向量看成是一些向量，x是要求的系数，因为不全为0，所以是线性相关。

扩展资料：

设A是方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条件是A的行（列）向量组线性无关；设A是m×n矩阵，若r（A）=r<n，则齐次线性方程组AX=0存在基础解系，且基础解系包含n-r个解向量。

设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则其一般解为X0+k1X1+k2X2+...+ktXt，其中X0是AX=b的一个特解，X1,X2,...,Xt是导出方程组AX=0的一个基础解系，k1,k2,...,kt是t个任意常数。

Answer 2

AX=0有非零解 <=> A的列向量组线性相关
AX=0仅非零解 <=> A的列向量组线性无关

应该是 (B)正确

追问

哦，不过为什么是这样的呢？

追答

这是定理呀.

A=(a1,...,an)
x1a1+...+xnan=0 有非零解 即 a1,...,an 线性相关