Question

已知关于x的一元二次方程X2-（K+2）X+2K=0

（1）证明：无论K取何值时，这个方程总有实数根，并且有有理根。
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边b，c是这个方程的俩个根，求三角形ABC的周长

Answer 1

解：1）因为X2-（K+2）X+2K=0
（x-2)(x-k)=0
所以x1=2,x2=k
所以无论K取何值时，这个方程总有实数根，并且有有理根。

2）若a=1是底，则b=c=2,此时k=2,周长=1+2+2=5
若a=1为腰，则b,c中一个为2是底，另一个为k=1是腰，此时的三角形是不存在的

Answer 2

解：(1)∵x²-(k+2)x+2k=0
　∴⊿=(k+2)²-4k
　　=k²+4k+4-4k
　　=k²+4
　∵k²≥0
　∴k²+4>0
　　⊿>0
　∴方程总有实数根
　∵x²-(k+2)x+2k
　　=(x-k)(x-2)=0
　∴x=k或x=2
　∴方程有有理根
　∴无论K取何值时，这个方程总有实数根，并且有有理根

(2)∵等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边b，c是这个方程的两个根
　∵方程的两个根为：k、2
　若k=1
　则1+1=2
　∵a+b>c
　∴不成立，舍
　若k=2
　经检验符合条件
　∴三角形ABC的周长：1+2+2=5