如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交BC于点F,求证:∠CEF=∠CFE
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F,求证:∠CEF=∠CFE.考点:三角形的外角性质;三神乱角形内角和定理.专题:证明题.分析:根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内镇渣角的和,可得∠CEF=∠1+∠3,∠CFE=∠B+∠2,再根据同角的余角相等可得∠3=∠B,等量代换即可证明∠CEF=∠CFE.解答:证明:证法一:在Rt△AFC中,
∠CFA=90°-∠1(直角三角形两锐角互余)
同理在Rt△AED中,
∠AED=90°-∠2.
又∵AF平分∠CAB(已知)
∴∠1=∠2(角平分线定御瞎悄义)
∴∠AED=∠CFE(等量代换)
又∵∠CEF=∠AED(对顶角相等)
∴∠CEF=∠CFE.
证法二:利用三角形外角定理证.
∵∠CEF=∠1+∠3(1),
∠CFE=∠B+∠2(2)(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
又∵∠3+∠ECF=90°,
∠B+∠FCE=90°(已知)
∴∠3=∠B.
由(1)、(2)可知∠CEF=∠CFE.(等量代换)点评:本题证明的方法很多,可根据利用直角三角形两锐角互余来证明,也可根据三角形外角定理证.
∠CFA=90°-∠1(直角三角形两锐角互余)
同理在Rt△AED中,
∠AED=90°-∠2.
又∵AF平分∠CAB(已知)
∴∠1=∠2(角平分线定御瞎悄义)
∴∠AED=∠CFE(等量代换)
又∵∠CEF=∠AED(对顶角相等)
∴∠CEF=∠CFE.
证法二:利用三角形外角定理证.
∵∠CEF=∠1+∠3(1),
∠CFE=∠B+∠2(2)(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
又∵∠3+∠ECF=90°,
∠B+∠FCE=90°(已知)
∴∠3=∠B.
由(1)、(2)可知∠CEF=∠CFE.(等量代换)点评:本题证明的方法很多,可根据利用直角三角形两锐角互余来证明,也可根据三角形外角定理证.
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等腰三角形
因为 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB的平分线AF交CD于E,交BC于F
得 ∠CAF=∠EAD 平分角
因御世此为 CD⊥AB于D
得 ∠CDA=90°
因为 CD⊥AB于D,返悔∠CAB的平分线AF交CD于E,交BC于F
得 ∠AED=∠CEF
因为 ∠ACB=∠CDA ∠CAF=∠EAD
得∠EFC=AED 又因∠AED=∠CEF(对角相等)
所以 △镇迅CEF为等腰三角形, ∠CFE=∠CEF
因为 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB的平分线AF交CD于E,交BC于F
得 ∠CAF=∠EAD 平分角
因御世此为 CD⊥AB于D
得 ∠CDA=90°
因为 CD⊥AB于D,返悔∠CAB的平分线AF交CD于E,交BC于F
得 ∠AED=∠CEF
因为 ∠ACB=∠CDA ∠CAF=∠EAD
得∠EFC=AED 又因∠AED=∠CEF(对角相等)
所以 △镇迅CEF为等腰三角形, ∠CFE=∠CEF
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证明:∠CEF=∠AED(两角为对顶角)
∠AED=90-∠DAF
所以,∠CEF=90-∠DAF
∠CFE=∠CFA=90-∠CAF
因为,AF平分∠CAB
所以,∠DAF=∠宽弯CAF
∠CEF=90-∠DAF=90-∠慎敬闷CAF=∠CFE
因稿和此::∠CEF=∠CFE
∠AED=90-∠DAF
所以,∠CEF=90-∠DAF
∠CFE=∠CFA=90-∠CAF
因为,AF平分∠CAB
所以,∠DAF=∠宽弯CAF
∠CEF=90-∠DAF=90-∠慎敬闷CAF=∠CFE
因稿和此::∠CEF=∠CFE
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证明:
∵∠ACB=90
∴∠BAC+∠B=90
∵没键CD⊥AB
∴∠BAC+∠ACD=余迹90
∵AF平竖察并分∠BAC
∴∠BAF=∠CAF
∵∠CEF=∠CAF+∠ACD,∠CFE=∠BAF+∠B
∴∠CEF=∠CFE
∵∠ACB=90
∴∠BAC+∠B=90
∵没键CD⊥AB
∴∠BAC+∠ACD=余迹90
∵AF平竖察并分∠BAC
∴∠BAF=∠CAF
∵∠CEF=∠CAF+∠ACD,∠CFE=∠BAF+∠B
∴∠CEF=∠CFE
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