Question

如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，E是CB延长线上一点，CF⊥Ae，垂足为F，请说明；DF⊥BF

Answer 1

证明：连接FO
∵CF⊥AE
∴∠AFC＝90
∴FO＝AO＝CO （直角三角形中线特性）
∵矩形ABCD
∴AO＝CO＝BO＝DO
∴FO＝BO＝DO
∴∠BFD＝90 （这个可利用FO＝BO，FO＝DO角的关系转换，是直角三角形中线特性的逆定理，不需要证明）
∴DF⊥BF

Answer 2

连接FO
∵CF⊥AE
∴∠AFC＝90
∴FO＝AO＝CO （直角三角形中线特性）
∵矩形ABCD
∴AO＝CO＝BO＝DO
∴FO＝BO＝DO
∴∠BFD＝90 ∴DF⊥BF

Answer 3

解：
构造辅助圆的方法来解决。
以O为圆心，以OA为半径画圆，则B、C、D均在⊙O上
AE与圆⊙O交于F’，连接CF’
∵CF⊥AE，CF’⊥AE
∴F’与F重合
由矩形ABCD，易知AC、BD均为⊙O的直径，
∴∠DFB=90°
即DF⊥BF