Question

已知P（2,1）过点P作直线l与x轴y轴正半轴分别交于AB两点，则使三角形AOB（O为原点)周长最小的直线方程是

Answer 1

设过P（2，1）的直线l 的方程为 x/a+y/b=1
a,b是直线l 在两坐标轴上的截距，a>0,b>0
点P在直线上。则
2/a+1/b=1，即 a+2b=ab
三角形OAB的周长L=a+b+√(a²+b²)>=a+b+√2ab>=2√ab+√2*√ab=(2+√2)√ab
当且仅当a=b 时，L有最小值
那么a+2a=a²
a²-3a=0
a不等于0，
a=3
那么所求的直线方程是
x/3+y/3=1
即 x+y-3=0

（此时L的最小值是 （2+√2）√ab=3(2+√2)
也就是 OA+OB+AB=3+3+3√2=3（2+√2）

Answer 2

若要周长最小，必须OP⊥AB
∵直线OP的斜率为：(1-0)/(2-0)=1/2
∴直线AB的斜率是：k=-2
∴直线AB的方程为：y-1=-2(x-2)，
整理得，2x+y-5=0

Answer 3

y-1=-x+2
y=-x+1