Question

设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）

A.η1+η2是Ax=0的一个解 B. η1+ η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解

Answer 1

带入计算，A选项的结果等于2b不等于0。

η1，η2是Ax=b的解，

所以Aη1=b，Aη2=b

那么A(η1+η2)=Aη1

+Aη2=b+b=2b

而A(η1-η2)=Aη1

-Aη2=b-b=0，即η1-η2是Ax=0的一个解

A(2η1-η2)=2Aη1

-Aη2=2b-b=b，即2η1-η2是Ax=b的一个解

A和B都错了，η1+η2是Ax=2b的一个解

解法

非齐次线性方程组Ax=b的求解：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于即可写出含n-r个参数的通解。

以上内容参考：百度百科-非齐次线性方程组

Answer 2

η1，η2是Ax=b的解，
所以Aη1=b，Aη2=b
那么A(η1+η2)=Aη1 +Aη2=b+b=2b

而A(η1-η2)=Aη1 -Aη2=b-b=0，即η1-η2是Ax=0的一个解
A(2η1-η2)=2Aη1 -Aη2=2b-b=b，即2η1-η2是Ax=b的一个解

所以C、D是对的
A和B都错了，η1+ η2是Ax=2b的一个解

Answer 3

A 这么简单都不会