Question

如何理解自变量趋于无穷大时函数的极限的定义

Answer 1

综述：实际上不用考虑那么多，无论自变量趋于多少，其函数值的极限都是一回事。极限表现的是，变化过程中的无限接近的性质，直观上理解就是函数值和极限值“任意小”的差别，都可以在自变量“足够大”时实现。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数历史

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

Answer 2

自变量趋于无穷大时函数极限有ε-X定义，可以理解为：
∀ε>0,∃X>0 s.t. ∀x>X:|f(x)-A|<ε 当且仅当 lim f(x) x→∞=A
对于任意的大于0但不是0的无穷小量ε，都存在一个足够大的量X>0，使得函数自变量趋于无穷大时，也就是x比任意大的数都要大时，极限都存在（f(x)与函数值之间的距离小于一个无穷小量，也就是收敛于一点）

Answer 3