Question

数学证明题，高分求帮助，数学高手来

1、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD (本小题8分)
(1) 求BD的长度，并判定△AOB的形状
(2)计算△BOC的面积

2、如图，等腰梯形中，AD∥BC，AB=DC，∠B＝600，
对角线AC平分∠BCD，AE∥DC
（1）试说明四边形AECD的形状，并说明理由；
（2）梯形周长为20cm，求BC的长。
AD的长是4根号3

Answer 1

第一题，由于AD的长没有给出，暂时无法求解。

先解第二题：
（1）四边形AECD是菱形。
理由如下：∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形AECD是平行四边形。
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∠B＝60°，
∴∠DCB＝∠B＝60°
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°
∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACB＝30°
∴∠DAC＝∠ACD
∴AD＝CD
∴四边形AECD是菱形。

（2）由（1）有∠ACB＝30°，
又∵∠B＝60°
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝90°
∴BC＝2AB
∵AB＝DC，AD＝CD
设AB为X，由于梯形周长为20cm，
则有：x+x+x+2x=20
解得x=4
∴BC=8cm.

补充完整第一题的AD长，欢迎追问。

追问

AD的长是4根号3

追答

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°
∴BD²＝AB²+AD²＝4²+（4√3）²＝64
BC＝8

∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OA＝½AC，OB＝½BD
∴OA＝OB
∴△AOB是等腰三角形。

（2）∵BC＝AD＝4√3，AB＝4
∴S△ABC＝½×4×4√3＝8√3
∵O为AC的中点
∴S△BOC
＝½S△ABC
＝½×8√3
＝4√3cm².

Answer 2

　　解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°
∴BD²＝AB²+AD²＝4²+（4√3）²＝64
BC＝8

∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OA＝½AC，OB＝½BD
∴OA＝OB
∴△AOB是等腰三角形。

（2）∵BC＝AD＝4√3，AB＝4
∴S△ABC＝½×4×4√3＝8√3
∵O为AC的中点
∴S△BOC
＝½S△ABC
＝½×8√3
＝4√3cm².

　　2.（1）四边形AECD是菱形。
∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形AECD是平行四边形。
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∠B＝60°，
∴∠DCB＝∠B＝60°
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°
∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACB＝30°
∴∠DAC＝∠ACD
∴AD＝CD
∴四边形AECD是菱形。

Answer 3

第一题少条件了，AD不知道，求不了的，吧第二题说下吧
解（1）菱形，因为ABCD为等腰梯形，则AD∥=1\2BC
又因AE∥DC，AD∥BC，则AECD为平行四边形，
则有AD∥=EC，即E为BC中点，又因∠B＝60°，对角线AC平分∠BCD
则∠ACB=30°，所以根据直角三角形的性质有BE=EC=AE，
即AECD为菱形.

（2）已证AECD为菱形，且ABC为直角三角形，E为BC中点，显然可知AD=AB=BE=EC=CD。
因为梯形周长为20cm，所以BC=8cm.