Question

请问老师，如果一个非齐次线性方程组已知三个特解，是不是就可以写出它的三个通解？

Answer 1

不行.
这类题目必须先确定 r(A), 进而确定AX=0的基础解系所含向量的个数 n-r(A).

已知三个特解, 只能知道 a1-a2,a1-a3 是 AX=0的解

还要看它们是否线性无关, 是否达到n-r(A)

追问

它的秩是1,是不是就能写出三个通解

追答

秩是1, n呢? 缺一不可

追问

它的秩是1,是不是就能写出三个通解，特解线性无关，是个三元非齐次的，我写了三个，可答案上只有两个

追答

三元非齐次 就说明 n=3

所以 AX=0 的基础解系 含 n-r(A)=3-1=2 个向量

AX=b的通解的形式应该是 a1 + k1(a1-a2) + k2(a1-a3)

追问

不能写成a2 ……和a3 ……吗

追答

要看具体情况 我给的是一种形式

真费劲哈 还不如把原题给出来呢

追问

题：已知三元非齐次Ax＝b,特解n1＝（1,0,2）转置，n2＝（-1,2,-1）转置，n3＝（1,0,0）转置，r＝1,求通解

追答

通解 a1 + k1(a1-a2) + k2(a1-a3)

= (1,0,2)^T +k1(2,-2,3)+k2(0,0,2)^T

这类答案不唯一, 只要是 特解+基础解系的线性组合都可以

追问

谢了老师，一个很简单的题，麻烦您了

追答

不客气