Question

椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，，椭圆上存在一点p，是PF1⊥PF2，

求椭圆离心率的取值范围求详细过程，谢谢高手指点！！

Answer 1

设P（m，n）是椭圆上一点，且 PF1丄PF2 ，
由于 F1（-c，0），F2（c，0），
因此由 PF1*PF2=(-c-m)(c-m)+(-n)*(-n)=m^2+n^2-c^2=0
得 m^2+n^2=c^2 ，（1）
由于 m^2/a^2+n^2/b^2=1，（2）
（2）*a^2-（1）n^2*(a^2/b^2-1)=a^2-c^2 ，
解得 n^2=b^2*(a^2-c^2)/(a^2-b^2)=b^4/c^2 ，
由于 0<=n^2<=b^2 ，
所以 0<=b^4/c^2<=b^2 ，
因此 b^2<=c^2 ，即 a^2-c^2<=c^2 ，
解得 c/a>=√2/2 ，注意到椭圆离心率小于 1 ，
所以可得椭圆离心率的取值范围是 [√2/2，1）。