Question

求问各位一道不等式题：已知不等式(x+y)(1/x+a/y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为？

下面是我用二次函数的恒成立角度的两个解题思路：
解一： 由已知，原式可变形为ax²+ (a-8)xy+y²≥0，
所以令Δ=(a-8)²y² - 4ay²≤0，因此解得 4≤a≤16。

解二： 由已知，原式变形为ax²+ (a-8)xy+y²≥0，令y=ax²+ (a-8)xy+y²
所以，可知有ymin= [4ay²- (a-8)²y²]/4a ≥0 ，解得 4≤a≤16

我想问下， 对于这种恒成立的问题，是采用限制Δ才是正确的解法，还是利用函数的最值。因为我记得数学老师曾经说过这两种解法看似相似，结果有时也相同，但不同的题型需要用不同的思路，不见得每一个都用Δ来求。
呵呵， 有点搞混了，望朋友们指点下~ 谢谢~

Answer 1

用Δ的时候x是一般是属于R的 ， 如果给了一个x区间后说函数大于零， 那只是函数的一部分大于零需要考虑几个因素， Δ 对称轴什么的 ，这个一般用最值求简单点吧

Answer 2

你的做法可以，还有一种直接展开，有常数和y/x和x/y项，用基本不等式和不等号传递性做也可以

追问

谢谢，可不可以告诉我下~ 你的那种不等式解法呢？我很想知道~ 麻烦了~

Answer 3

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