Question

设e^z-xyz=0,求z关于x的二次偏导数

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

f(x,y,z)=e^z-xyz=0
∂z/∂x=-(∂f/∂x)/(∂f/∂z)=-yz/(e^z-xy)=z/[x(z-1)]
∂²z/∂x²=[∂z/∂x
x(z-1)-z(z-1+x∂z/∂x)]/[x(z-1)]^2=z/[x(z-1)]x(z-1)-z(z-1+xz/{x(z-1)})]/[x(z-1)]^2
=[z-z^2+z-z^2/(z-1)]/[x(z-1)]^2
=[2z(1-z)-z^2/(z-1)]/[x(z-1)]^2
二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。
（1）切线斜率变化的速度
（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）

Answer 3

e^z*(∂z/∂x)-yz-xz(∂y/∂x)-xy(∂z/∂x)=0
因此(∂z/∂x)=[yz+xz(∂y/∂x)]/(e^z-xy)
=[yz+xz(∂y/∂x)]/xy(z-1)
所以(z-1)/z(∂z/∂x)=[y+x(∂y/∂x)]/xy
(1-1/z)*(∂z/∂x)=1/x+(∂y/∂x)/y
然后两边再求一次偏导
(∂z/∂x)‘+(∂z/∂x)/z^2-(∂z/∂x)'/z=-1/x^2+(∂y/∂x)'/y-(∂y/∂x)]/y^2
然后把(∂z/∂x)的表达式代进去就可以了，当然∂y/∂x=0就更简单了