Question

如图,在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD，AP=AB=2,BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点

求证：PC⊥面BEF

Answer 1

取PB中点M连接FM，AM
在△PBC中，FM//=1/2BC
E为AD中点，
所以 FM//=AE
所以AEFM为平行四边形，
AP=AB,所以AM⊥PB

底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD，
BC⊥AB
BC⊥PA
所以 BC⊥平面PAB
所以 BC⊥AM
又AM⊥PB
所以AM⊥平面PBC
所以 AM⊥PC
因为 AM//EF 所以EF⊥PC
AP=AB=2,BC=2√2， 所以BP=BC ,所以 BF⊥PC
所以 PC⊥面BEF

Answer 2

做空间坐标轴 以pa做z轴 ad做x轴 ab做y轴 p坐标为（0,0,2） c坐标为（2√2,2,0） 向量pc=（2√2,2,-2） b坐标为（0,2,0） e坐标为（√2,0,0） f坐标为（√2,1,1） 向量fe=（0,-1,-1） 向量bf=（√2,-1,1） 向量pc和向量fe的乘积为0 即pc垂直fe 同理 pc垂直bf bf和fe相交且在面bef内 所以 pc垂直面bef