Question

微积分基本定理第5题

Answer 1

要证上凹即证y''>0
y=∫[a→b]
|x-t|f(t)
dt
=∫[a→x]
|x-t|f(t)
dt
+
∫[x→b]
|x-t|f(t)
dt
注意：第一个积分内由于t∈(a,x)，因此x≥t，类似第二个积分内x≤t
=∫[a→x]
(x-t)f(t)
dt
+
∫[x→b]
(t-x)f(t)
dt
=x∫[a→x]
f(t)
dt
-
∫[a→x]
tf(t)
dt
+
∫[x→b]
tf(t)
dt
-
x∫[x→b]
f(t)
dt
y'=∫[a→x]
f(t)
dt
+
xf(x)
-
xf(x)
-
xf(x)
-
∫[x→b]
f(t)
dt
+
xf(x)
=∫[a→x]
f(t)
dt
-
∫[x→b]
f(t)
dt
y''=f(x)-[-f(x)]=2f(x)>0
因此函数y上凹。
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