Question

已知,如图,抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-1,0),B(0,-3),C(3,0 )

（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，求sin∠BOD的值．
（3）在第四象限抛物线上是否存在一点P，使得四边形OCPB面积最大，求出P点坐标及最大面积

Answer 1

解答：
⑴、由抛物线与X轴的两个交点坐标可以由两根式设抛物线解析式为：
y=a﹙x＋1﹚﹙x－3﹚
将B点坐标代人解得：a=1
∴抛物线解析式为：
y=﹙x＋1﹚﹙x－3﹚=x²－2x－3
⑵、由y=x²－2x－3=﹙x－1﹚²－4
∴顶点坐标D﹙1，－4﹚，
过D点作Y轴的垂线，垂足为E点，
∴OE=4，DE=1，∴OD=√17
∴sin∠BOD=1／√17；
⑶、令x=0代人抛物线解析式得B﹙0，－3﹚，
连接BC，由B、C两点坐标可以求得BC直线方程为：
y=x－3
设抛物线上一点P﹙m，n﹚，
过P点作BC的平行线PF，且切抛物线﹙直线PF与抛物线只有一个交点﹚，
这时候的P点使△BCP面积最大，
实际是求△BCP面积的最大值，
∴PF直线方程为：y=x＋﹙n－m﹚
由PF直线方程与抛物线解析式组成方程组，解得：
x²－3x－3－n＋m=0
∴由Δ=﹙－3﹚－4﹙－3－n＋m﹚=0
∴①n=﹙4m－9﹚／4，
② n=m²－2m－3
∴由①②方程组解得：m=﹙3±2√3﹚／2，n=[2﹙3±2√3﹚－9]／4
∵P点在第四象限，∴m＞0
∴P点坐标为P﹙½﹙3＋2√3﹚，﹙4√3－3﹚／4﹚。