Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4

Answer 1

解：f（x-4）=-f（x）=-f(4-x)，故f(x)=f(4-x)
也即y=f(x)关于x=4/2=2对称。
f(x-8)=f(x-4-4)=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x)，故函数y=f(x)周期为8。
于是有f(x)=f(4-x)=f(4-x-8)=f(-4-x)，于是y=f(x)关于x=-4/2=-2对称。
因f(x)在区间[0，2]上是增函数，根据奇函数的性质，必在区间[-2,0]上也是增函数。
如果f(x)=m>0在区间[0,2]上无解，则必有f(2)<m，且在区间[-2,2]上均有f(x)<m。而f(x)关于x=2对称，故在区间[-2,6]上必有f(x)<m。
因x∈[-2,0]时有f(x)<m，且f(x)周期为8，故在x∈[6,8]上必有f(x)<m。
于是，x∈[-2,8]时必有f(x)<m。再考虑f(x)周期是8，故x∈[-10,0]时必有f(x)<m。综上，在区间【-8，8】上必有f(x)<m成立。于是方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上便不可能有根。
所以，f(x)=m>0在区间[0,2]上至少有一根。
如果f(x)=m>0在区间[0,2]上有两个不同的根，那么：
f(x)关于x=2对称，则在区间[0,4]上必有不同的4个根。考虑周期为8，则在区间[-8.-4]也必有不同的4个根。那么在区间[-8,8]上至少有8个不同的根，同样矛盾。
于是可知，f(x)=m>0在区间[0,2]上有且只有一个根。设此根为p，根据函数关于x=2对称，在[2,4]上必有一根4-p；根据周期为8，则在区间[-8,-6]上必有一根p-8，在区间[-6,-4]上必有一根4-p-8=-4-p。于是，这四个不同的根从小到大依次是：
p-8，-4-p，p，4-p。于是有
x1+x2+x3+x4=p-8-4-p+p+4-p=-8
此图像很类似于y=sin(πx/4)。
不明白请追问。
楼上答案是对的，但理由不充分，缺乏数学的完备性和严谨性。

Answer 2

此函数是周期函数，又是奇函数，且在（0，2）上为增函数，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），两个交点的横坐标之和为2×2，
所以x1+x2+x3+x4=-8．