Question

liman=a 若an>0 证明 (a1*a2*.an)^1/n=a

Answer 1

当a≠0时：
由均值不等式得：n/(1/a1+1/a2+…+1/an)≤(a1*a2*.an)^1/n≤(a1+a2+…+an)/n
对于lim(a1+a2+…+an)/n,由Stolz公式得其等于a
对于limn/(1/a1+1/a2+…+1/an),取倒数得lim(1/a1+1/a2+…+1/an)/n
由Stolz公式得其等于1/a,再取倒数得limn/(1/a1+1/a2+…+1/an)=a
由夹逼原理得所证成立
当a=0时：
只需将n/(1/a1+1/a2+…+1/an)≤(a1*a2*.an)^1/n≤(a1+a2+…+an)/n
改为0≤(a1*a2*.an)^1/n≤(a1+a2+…+an)/n即可
同上由夹逼定理得其成立