Question

高中数学X2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A.B.点p在椭圆上，且异于AB两点.O为坐标原点.（1）若直线

AP与BP的斜率之积为-1/2.求椭圆的离心率. （2)若AP=OP.证明直线OP的斜率K满足K的绝对值＞根号3

Answer 1

X²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A.B.点p在椭圆上，且异于AB两点.O为坐标原点.（1）若直线AP与BP的斜率之积为-1/2.求椭圆的离心率. （2)若AP=OP.证明直线OP的斜率∣K∣<√3。升派腊

解：(1)设P点的坐标为(x，y)=(acost，bsint)；由于A(-a，0)；B(a，0)；羡哗故
KAP×KBP=[bsint/(acost+a)][bsint/(acot-a)]=(b²sin²t)/(a²cos²t-a²)=(b²/a²)[sin²t/(cos²t-1)]
=(b²/a²)[sin²t/(-sin²t)]=-b²/a²=-1/2，故b²/a²=(a²-c²)/a²=1-e²=1/2，∴e=√(1/2)=(√2)/2.
(2).若AP=OP，则有等式：(acost+a)²+b²sin²t=a²cos²t+b²sin²t；化简得 2a²cost+a²=0；
故cost=-a²/2a²=-1/2，∴tant=-√[(1/cos²t)-1]=-√3，即有∣tant∣=√3；
设OP的倾角为α，当P在第二象限时180°>α>t>90°，(t是椭圆参数角)，故∣KOP∣=∣tanα∣<√3；
当P在第三象限时，tant=√3；180°<α<t<270°，故同样有 ∣KOP∣=∣吵滑tanα∣＝tanα<√3.
【原题有错！】

Answer 2

设P（x，唯散y）则直线AP的K1＝y／x a 直线BP的k2＝y／x－a k1k2＝－1/2＝y∧2/x∧2-a∧2 化化简得2y∧2 x∧2＝a∧2 因为x∧2＝（1-y∧2/b∧2）a∧2 （由椭圆基本式变形来的）散袭 代换等量指掘氏得y∧2（2-a∧2/b∧2）＝0所以2-a∧2/b∧2＝0 a∧2＝2b∧2 c∧2＝b∧2 .e∧2＝c∧2/a∧2＝1/2 .e＝√2/2