Question

求定积分∫1/x²√（1+x²） dx上限√3下限1

Answer 1

答案是√2 - 2/√3

解题过程如下：

∫[1→√3] 1/[x²√(1+x²)] dx

令x=tanu，则√(1+x²)=secu，dx=sec²udu，u：π/4→π/3

=∫[π/4→π/3] [1/(tan²usecu)](sec²u) du

=∫[π/4→π/3] secu/tan²u du

=∫[π/4→π/3] cosu/sin²u du

=∫[π/4→π/3] 1/sin²u dsinu

=-1/sinu ||[π/4→π/3]

=√2 - 2/√3

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式。

扩展资料

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

∫[1→√3] 1/[x²√(1+x²)] dx
令x=tanu，则√(1+x²)=secu，dx=sec²udu，u：π/4→π/3
=∫[π/4→π/3] [1/(tan²usecu)](sec²u) du
=∫[π/4→π/3] secu/tan²u du
=∫[π/4→π/3] cosu/sin²u du
=∫[π/4→π/3] 1/sin²u dsinu
=-1/sinu ||[π/4→π/3]
=√2 - 2/√3

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