Question

如图已知点A （-2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上． （1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

1).把A （-2，4）和点B （1，0）带入抛物线y=mx2+2mx+n方程，有4m-4m+n=4(*)，m+2m+n=0(**)解得m=-4/3，n=4。解析式为y=-4/3x^2-8/3x+4
2).AB=√（-2-1）^2+(4-0)^2=5,于是平移后的抛物线方程为y==-4/3(x-5)^2-8/3(x-5)+4，整理得：y=-4/3x^2+32/3x-16.
3). 易得AB'直线方程为y=-1/2x+3,y=-4/3x^2+32/3x-16对称轴方程为x=4,于是C（4,1）。
易得AB直线方程为y=-4/3x+4/3，AB=BB'，有∠BAC=∠BB'A
当过C作CD//AB与x轴交于点D时点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似． 于是CD解析式为y=-4/3x+b，把C（4,1）带入，有b=19/3，于是CD解析式为y=-4/3x+19/3，当y=0时，x=19/4.
于是D(19/4，0)
当∠B'CD=∠ABC时，比较困难，就不求了。

Answer 2

(1)m =-4/3, n =4 (2)平移后为-4/3x 2 32/3x -16 (3)D(3, 0)(13/3, 0)