Question

为什么“无穷多个无穷小的乘积不一定是无穷小”？

“无穷多个无穷小的和不一定是无穷小”这还好理解。
可“无穷多个无穷小的乘积”为何不一定是无穷小呢？？

请高手指点！

谢谢！
三四楼的二位朋友：
尤其是三楼的朋友，你的说法很有道理，但如此下去，第无穷个数列就不是无穷小了啊。

Answer 1

证明如下：

无穷小的性质是：

1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

6、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

7、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

8、无穷小量与自变量的趋势相关。

扩展资料：

等价无穷小的使用：

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，可以使求极限问题化繁为简，化难为易。求极限时，使用等价无穷小的条件 ：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

Answer 2

楼上连什么是无穷小都不知道，不要误导人家了，我给你举个数列的例子，函数的例子你自己都能举出来了：
第一个数列：1，1/2，1/3，1/4，…，1/n,…
第二个数列：1, 2, 1/3, 1/4，…,1/n,…
第三个数列：1，1， 3^2，1/4，…,1/n,…
第四个数列：1，1， 1， 4^3，…,1/n,…
………………………………………………
第n个数列：1，1，1，1，…,n^(n-1),…
………………………………………………
这样，每个数列都是无穷小，因为每个数列都只有前面的有限项异常，后面都是{1/n}这个数列的部分，但是所有（无穷多个）这些数列的乘积却是1，1，1，…1，… 这个常数列（这里的乘积显然是指对应项相乘！）。

对任意给定的N，第N个数列都是无穷小啊，你说的第无穷个数列只存在于你的脑袋里，你找不出来具体的．

Answer 3

由于趋于0之速度不一致之缘故吧，所有反例都是以此为根据举的，以自变量趋于无限大为例通俗的说：

第一个越过某个数已经很小了，但第二个在这里还很大，乘起来反而变大了，就是这样逐项向后推，由于无限多个相乘，能使每个点处都能变成不小。

你可以依照我说的举出反例。

Answer 4

举个例子-11111111趋于无穷小
那么（-11111111）*（-11111111）=？
负负得正那都反而无穷大了

Answer 5

无穷小就是负无穷大，负负为正，当个数为偶数个时就不小了