Question

高中数学：数列问题？

Answer 1

证明：
充分性：因为数列{bn}为等比数列，设其公比为q，则有bn=b1q^(n-1)，且易知q＞0，则
an=(lgb1+lgb2+lgb3+...+lgbn)/n
=lgb1b2b3...bn / n
=lg b1^n q^[(n-1)(1+n-1)/2] / n
=lgb1+(n-1)/2 ×lgq
则an-1=lgb1+(n-2)/2 ×lgq
an - an-1=lgq/2为常数，所以数列{an}为等差数列
必要性：
因为{an}为等差数列，设其公差为d，则有an=a1+(n-1)d
因为an=(lgb1+lgb2+…+lgbn)/n
则n×an=lgb1+lgb2+...+lgbn
(n-1)an=lgb1+lgb2+...+lgbn-1
两式相减得
n(an - an-1)+an=lgbn
即nd+a1+(n-1)d=lgbn
即a1+(2n-1)d=lgbn
则bn=10^[a1+(2n-1)d]
则bn-1=10^[a1+(2n-3)d]
bn/bn-1=10^2d为常数
所以数列{bn}是等比数列

Answer 2

好的LZ一般地，题目已知条件或者递推过程，递推公式，或者Sn的关系出现形如...An=f[A(n-1)]Sn=f[S(n-1)]这样类似的情况...也即用A(n-1)或者S(n-1)来表达An或者Sn那么就必须验证n=1是否成立因为当你n=1时，该递推或者条件式子显然出现了A0或者S0，数列怎么可能有第0项?。
因此必须验证n=1而假如是S(n+1)=f[An]这种，就不需要验证而如果是Sn=f[A(n-2)]，那你不但要验n=1，还要验n=2

Answer 3

证明:
(1)，证充分性.
若{bn}是等比数列，设公比为q，则an=(nlgb1+lg[q·q²q^(n-1)])/n
=(nlgb1+lg[q^(n(n-1))/2])/n
=lgb1+(n-1)lgq^(1/2)，
∴a(n+1)-an=lgq^(1/2)为常数，
∴数列{an}为等差数列;
(2)，证必要性.
由an=(lgb1+lgb2+...+lgbn)/n得:
nan=lgb1+lgb2+...+lgbn，
∴(n+1)a(n+1)=lgb1+lgb2+...+lgb(n+1)，
∴n(a(n+1)-a(n+1)=lgb(n+1)，
若数列{an}为等差数列，设公差为d，则
nd+a1-nd=lgb(n+1)，
∴b(n+1)=10^a1+2nd，
∴bn=10^a1+2(n-1)d，
∴b(n+1)/bn=10^2d为常数，
∴数列{bn}是等比数列。
故问题得证。

Answer 4

这个可以让高中数学老师做一下。