Question

圆C1:x^2+y^2-2y=0与圆C2:x^2+y^2-(2√3)x-1=0的公切线

Answer 1

设公切线方程为y=kx b，∵圆C1:x^2 (y-1)^2=1，圆C2:(x-√3)^2 y^2=4，∴圆C1圆心坐标为(0，1)，半径r1=1，圆C2圆心坐标为(√3，0)，半径r2=2，∴圆心距d=2＜r1 r2，∴有两条公切线。用两点距离公式表示出两圆圆心分别到公切线kx-y b=0的距离，两式再相除得:2|b-1|=|√3k b|，∴b=√3k 2或(2-√3k)/3，后者带入不符舍去，前者带入距离公式1得(√3k 1)^2=k^2 1，∴k=√3，∴b=-1，所以√3 y 1=0，因为只有一个k值，所以另一个k不存在，因为圆C1与x轴相切，所以若要k不存在，则k平行于x轴，所以还有y=0这个方程，综上，共两个方程，y=0和√3x y 1=0。

Answer 2

C1: x^2+(y-1)^2=1, 圆心为(0,1),半径为1
C2: (x-√3)^2+y^2=4，圆心为(√3,0),半径为2
设公切线为y=kx+b
则到两圆心的距离分别等于圆的半径：
|b-1|/√(1+k^2)=1,
|√3k+b|/√(1+k^2)=2,
两式相除得：2|b-1|=|√3k+b|, 即：√3k+b=2b-2 or 2-2b
即：b=√3k+2 or b=(2-√3k)/3
b=√3k+2代入方程1得：3k^2+4+4√3k=1+k^2, 即k^2+2√3k+3/2=0,得：k=-√3+√6/2, -√3-√6/2
故b=-1+3√2/2, -1-3√2/2
b=(2-√3k)/3代入方程1得：（-√3k-1)^2=9+9k^2, 即：3k^2-√3k+4=0,无实根
因此共有两条公切线：
y=(-√3+√6/2)x-1+3√2/2
及y=(-√3-√6/2)x-1-3√2/2