Question

已知A,B是直线L上任意两个不同的点,O是直线L外一点,若L上一点C满足条件

向量OC=向量OAcosa+向量OB(cosa)^2,则sina+(sina)^2+(sina)^4+(sina)^6的最大值是?

Answer 1

向量OC=向量OAcosa+向量OB(cosa)^2，A,B,C三点共线

则：cosa+cos²a=1，得：1-cos²a=cosa
原式=sina+sin²a+sin⁴a(1+sin²a)
=sina+1-cos²a+(1-cos²a)²*(1+1-cos²a) 把1-cos²a=cosa代入
=sina+cosa+cos²a*(1+cosa) 把cos²a=1-cosa代入
=sina+cosa+(1-cosa)(1+cosa)
=sina+cosa+1-cos²a 把1-cos²a=cosa代入
=sina+cosa+cosa
=sina+2cosa 由辅助角公式
=√5sin(a+θ)，其中tanθ=2
所以，原式的最大值为√5

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

我就是想问一下为什么A,B,C三点共线就cosa+cos²a=1

追答

这是一个定理：
若A,B,C三点共线，则对于任意一点O：
OC=sOA+tOB，则必有：s+t=1，反之也成立。
证明：OC=sOA+tOB
OC-OA=(s-1)OA+tOB
AC=(s+t-1)OA-tOA+tOB
AC=(s+t-1)OA+t(OB-OA)
AC=(s+t-1)OA+tAB
因为A,B,C共线，则AC=λAB
所以，显然：s+t-1=0
即：s+t=1