Question

把两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起，得到如图所示的abcd

如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2。那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由。

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵两张矩形纸片的宽度相等，
∴AE=DF，
又∵AE•BC=DF•AB=S▱ABCD，
∴BC=AB，
∴▱ABCD是菱形；

（2）解：存在最小值和最大值．（7分）
①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；（8分）
②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB=x．
在Rt△BCG中，BC2=CG2+BG2，
即x2=（8-x）2+22，x=174．
∴周长最大值为174×4=17．（9分）

Answer 2

当两个矩形互相垂直时，周长有最小值=2*4=8（∵垂线段最短）

当两个矩形的对角线重合时，周长有最大值，
设菱形边长为X，由勾股定理得
X²=(8-X)²+2²
解得4X=17，
∴最大周长=17

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