Question

芝诺悖论

Answer 1

悖论一（二分法悖论）：从A点到B点是不可能的。

看了这个命题，你会马上说，这怎么不可能？别着急，我们先来看看芝诺的逻辑。

芝诺讲，要想从A到B，先要经过它们的中点，我假设是C点，而要想到达C点，则要经过A和C的中点，假设是D点……这样的中点有无穷多个，找不到最后一个。因此从A点出发的第一步其实都迈不出去。

悖论二（阿喀琉斯悖论）：阿喀琉斯追不上乌龟。

我们知道阿喀琉斯是古希腊神话中著名的飞毛腿，但是芝诺讲如果他和乌龟赛跑，只要乌龟跑出去一段路程，阿喀琉斯就永远追不上了。按照我们的常识，芝诺的讲法当然是错的。不过我们还是听听他的逻辑。

为了方便起见，我们简单地假设阿喀琉斯奔跑的速度是乌龟的10倍。如果乌龟先跑出10米。等阿喀琉斯追上了这10米，乌龟又跑出1米，等阿喀琉斯追上这1米，乌龟又跑出0.1米……总之阿喀琉斯和乌龟的距离在不断接近，却追不上。

悖论三（飞箭不动悖论）：射出去的箭是静止的。

在芝诺的年代，运动最快的是射出去的箭。但是芝诺却说它是不动的，因为在任何一个时刻，它有固定的位置，既然有固定的位置，就是静止的。而时间则是由每一刻组成，如果每一刻飞箭都是静止的，那么总的说来，飞箭就是不动的。

这个悖论，可能就比前两个难辩驳了。

悖论四（基本空间和相对运动悖论）：两匹马跑的总距离等于一匹马跑的距离。

如果有两匹马分别以相同的速度往两个方向远离我们而去，我们站在原地不动。在我们看来，单位时间里它们各自移动了一个单位Δ（Δ通常表示增量），显然一匹马跑出去的总距离就是很多Δ相加。但是如果两匹马上有人，那么在彼此看来，对方在单位时间却移动了两个Δ长度，彼此的距离应该是很多两倍的Δ相加。

那么，如果Δ非常非常小，小到无限接近于零，芝诺就干脆认为Δ=0，0乘以任何数还是0，那么1Δ＝2Δ。但是左右两匹马跑出去的总距离怎么可能等于一匹马跑的距离呢？

解析

今天我们就用无穷小的概念回答芝诺的第1、2和第4个悖论，由于第一个和第二个悖论其实是一回事，我们只讨论第二个，也就是阿喀琉斯和乌龟赛跑的例子。

我们知道，在阿喀琉斯悖论中，芝诺其实把阿喀琉斯追赶的时间分成了无限份，每一份逐渐变小却又不等于零。比如我们假设阿喀琉斯一秒钟跑10米，那么芝诺所分的每一份时间就是1秒、0.1秒、0.01秒，等等。如果我们把它们加起来，就是之前讲的等比级数。

S=1+0.1+0.01+0.001+……

接下来的问题是，这样无限份的时间加起来是多少？假如每一份时间都存在一个最小的、具体的长度，那么这样子的无限份加起来显然就是无限大，这是矛盾所在。但是，如果我们能够定义一个被称为“无穷小”的量，它满足这样两个条件，芝诺的悖论就能够解决了。

1 它不是零；

2 它的绝对值小于任何一个你能够给定的数。比如你说10^-100（10的负100次方就是10的100次方分之一）非常小，那么我这个无穷小比你说的还小，如果你说再来一个更小的数10^-10000，那么我这个无穷小依然比你的数字小。

无穷多个无穷小量加在一起可以有三种情况，分别是一个有限的数，无穷大，或者是无穷小，我们在后面介绍无穷大和无穷小的比较时会详细讲。

在这个具体情况中，无限个无穷小量加起来是一个有限的数，这一点我们在后面讲到极限的概念时会说明，S这个级数的极限是10/9。

因此引入了无穷小的概念，就解决了阿喀琉斯悖论。可以讲，正是阿喀琉斯悖论帮助我们补上了数学上的一个缺失。

其实芝诺的错误就是把无穷小直接当做了0。

至于第三个悖论，芝诺其实混淆了两个概念，即瞬间位移量和瞬间速度的差别。芝诺注意到了当间隔时间Δt趋近于零的时候，箭头飞行的距离ΔS也趋近于零。但是，它们的比值，也就是速度，并不是零。

至于第四个相对运动悖论，其实说起来就更简单了。芝诺所说的Δ，其实就是无穷小，虽然它趋近于零，但是不等于零，因此Δ≠2Δ。

总结

当逻辑和我们的经验有了矛盾时，有两个结果，一个结果是我们的经验错了。比如说，到底是地球围绕太阳转，还是太阳围绕地球转？在这件事上，我们的经验就错了。当然还有一个可能性就是，我们看似正确的逻辑，本身可能有问题，因为有概念的缺失，芝诺的悖论就属于第二种。