Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=6:5，bc=2，求BD的长

Answer 1

（1）直线BD与圆O 的位置关系是：相切。
证明：连结OD，DE。
因为 AE是圆O的直径，
所以 角ADE=90度，
因为 角C=90度，
所以 DE//CB，
所以 角EDB=角CBD，
因为 角CBD=角A，
所以 角EBD=角A，
因为 OA=OD，
所以 角ODA=角A，
所以 角ODA=角EDB，
因为 角ADE=90度，即：角ODA+角ODE=90度，
所以 角EDB+角ODE=90度，即：角ODB=90度，
因为 角ODB=90度，OD是圆O的半径，
所以 直线BD与圆O相切。
（2）解：因为 角ADE=角C=90度，角CBD=角A，
所以 三角形BDC相似于三角形AED，
所以 BD/AE=BC/AD，即：AD/AE=BC/BD，
因为 AE=2AO，AD/AO=6/5，
所以 AD/AE=6/10，又 BC=2，
所以 6/10=2/BD，
所以 BD=10/3。

Answer 2

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Answer 3

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