Question

已知函数f(x)=alnx+bx^2在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0

（1）求函数f(X）的表达式
（2）g(x)=t/x-lnx(t∈R），求f(X)≥g(x)恒成立时，t的取值范围

Answer 1

（1） 在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0;
说明 f(1) = y = x-1=0;
f'(1) = 1 ( 斜率是1）；
从而有：
f(1) = b = 0;
f'(x) = a/x ; f‘（1） = 1； 推出 a = 1;
所以f(x)＝　lnx；
（2）　f（x）　＞＝　g（x) 恒成立也就是
2lnx -t/x 对于 x >0 恒成立了；
设h(x）= 2lnx - t/x;
h'（x) = 2/x+ t/x^2; x>0;
若 t>0; 则h’(x) >=0 恒成立， 从而此时最小值是 x->0; 知道x->0 时候 h(x) -> 负无穷， 从而不成立了。
t<0 ; 则可以知道 h‘（x) = 0 推出 x0 = -t/2;
可以知道 函数是先见后增的； 只需要 h(x0) >=0即可；
及要求：2ln（－t／2）＋　2＞＝0；　
推出　ln（　－t／2）　＞＝　－　1；　
－t／2＞＝　1／e；　
t　＜＝　－2／e；

追问

h'（x) = 2/x+ t/x^2; x>0;
若 t>0; 则h’(x) >=0 恒成立， 从而此时最小值是 x->0; 知道x->0 时候 h(x) -> 负无穷， 从而不成立了。
t=0即可；
及要求：2ln（－t／2）＋　2＞＝0；　
推出　ln（　－t／2）　＞＝　－　1；　
－t／2＞＝　1／e；　
t　＜＝　－2／e；开始看不懂 能仔细点吗？

追答

在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0;
(1, f(1)) 在 切线方程上：从而有：1-f(1) -1 = 0; 从而f(1) = 0;
又有f'(1) = 1；这个事直线的斜率了。
而f(x) = alnx+bx^2; f'(x) = a/x+ 2bx;
f(1) = b = 0;
f'(x) = a/x ; f‘（1） = 1； 推出 a = 1;
所以f(x)＝　lnx；
（2）　f（x）　＞＝　g（x) 恒成立也就是
需要 2lnx -t/x 对于 x >0 恒成立了；
设h(x）= 2lnx - t/x;
h'（x) = 2/x+ t/x^2; x>0;
若 t>0; 则h’(x) >=0 恒成立， 从而此时最小值是 x->0; 知道x->0 时候 h(x) -> 负无穷， 从而不成立了。
t=0即可；
及要求：2ln（－t／2）＋　2＞＝0；　
推出　ln（　－t／2）　＞＝　－　1；　
这个已经很详细， 每一不为什么都写得很清楚