Question

如图，在三角形ABC中，BA=BC,∠BAC=a,M是AC的中点，P是线段BM上的动点，线段PQ=PA,∠APQ=2a

1 若且点p与点MC重合（如图1），a=55°，线段CQ的延长线交射线BM与点D,请补全图形，并写出a=50°和a=56°时，∠CDB的度数，猜想∠CDB与a有何数量关系？请写出你的结论，并证明。
2 在图2中，点p不与点B,M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想CDB与a有何数量关系？请写出你的结论，并证明。（用含a的式子表示）。。。

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Answer 1

解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；

（2）如图2，连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，
∵AD=CDPD=PDPA=PC​，
∴△APD≌△CPD，
∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠3=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；

（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD，
∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∵点P在线段BM上运动，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．

Answer 2

图LS就自己补吧， 我就不画了
1、
∵PC=PQ（前面简单证明我没写）
∴∠PCQ=∠PQC
又∠PCQ+∠PQC=∠APQ=2a
∴∠PCQ=a
∵∠CPD=90°（等腰三线合一）
∴∠CDB=180°-∠CPD-∠PCQ=90°-a

2、
画好图后，连接CP并延长交AB于E点。
设∠PCQ=∠1，∠PCA=∠2，∠APE=∠3
∵AP=AC
∴∠PAC=∠PCA=∠2，∴2∠2=∠3
∵PC=PQ
∴∠PCQ=∠PQC=∠1，∴2∠1=∠APQ+∠3=2a+∠3
将2∠2=∠3代入，得：2∠1=2a+2∠2
即：∠1=a+∠2
∴∠MCD=∠1-∠2=a
∵∠CMD=90°
∴∠CDB=180°-∠CMD-∠MCD=90°-a