如图,在三角形ABC中,BA=BC,∠BAC=a,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,线段PQ=PA,∠APQ=2a
1若且点p与点MC重合(如图1),a=55°,线段CQ的延长线交射线BM与点D,请补全图形,并写出a=50°和a=56°时,∠CDB的度数,猜想∠CDB与a有何数量关系?...
1 若且点p与点MC重合(如图1),a=55°,线段CQ的延长线交射线BM与点D,请补全图形,并写出a=50°和a=56°时,∠CDB的度数,猜想∠CDB与a有何数量关系?请写出你的结论,并证明。
2 在图2中,点p不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想CDB与a有何数量关系?请写出你的结论,并证明。(用含a的式子表示)。。。 展开
2 在图2中,点p不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想CDB与a有何数量关系?请写出你的结论,并证明。(用含a的式子表示)。。。 展开
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解:(1)∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,AM=MC,
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,
∴AM=MQ,∠AMQ=120°,
∴CM=MQ,∠CMQ=60°,
∴△CMQ是等边三角形,
∴∠ACQ=60°,
∴∠CDB=30°;
(2)如图2,连接PC,AD,
∵AB=BC,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,
∴AD=CD,AP=PC,PD=PD,
在△APD与△CPD中,
∵AD=CDPD=PDPA=PC,
∴△APD≌△CPD,
∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∠ADC=2∠1,∠4=∠3=∠PAD,
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°,
∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°,
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,
∴2∠CDB=180°-2α,
∴∠CDB=90°-α;
(3)如图1,延长BM,CQ交于点D,连接AD,
∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,
∵点P不与点B,M重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,
∵点P在线段BM上运动,∠BAD最大为2α,∠MAD最大等于α,
∴2α>180°-2α>α,
∴45°<α<60°.
∴BM⊥AC,AM=MC,
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,
∴AM=MQ,∠AMQ=120°,
∴CM=MQ,∠CMQ=60°,
∴△CMQ是等边三角形,
∴∠ACQ=60°,
∴∠CDB=30°;
(2)如图2,连接PC,AD,
∵AB=BC,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,
∴AD=CD,AP=PC,PD=PD,
在△APD与△CPD中,
∵AD=CDPD=PDPA=PC,
∴△APD≌△CPD,
∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∠ADC=2∠1,∠4=∠3=∠PAD,
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°,
∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°,
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,
∴2∠CDB=180°-2α,
∴∠CDB=90°-α;
(3)如图1,延长BM,CQ交于点D,连接AD,
∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,
∵点P不与点B,M重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,
∵点P在线段BM上运动,∠BAD最大为2α,∠MAD最大等于α,
∴2α>180°-2α>α,
∴45°<α<60°.
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图LS就自己补吧, 我就不画了
1、
∵PC=PQ(前面简单证明我没写)
∴∠PCQ=∠PQC
又∠PCQ+∠PQC=∠APQ=2a
∴∠PCQ=a
∵∠CPD=90°(等腰三线合一)
∴∠CDB=180°-∠CPD-∠PCQ=90°-a
2、
画好图后,连接CP并延长交AB于E点。
设∠PCQ=∠1,∠PCA=∠2,∠APE=∠3
∵AP=AC
∴∠PAC=∠PCA=∠2,∴2∠2=∠3
∵PC=PQ
∴∠PCQ=∠PQC=∠1,∴2∠1=∠APQ+∠3=2a+∠3
将2∠2=∠3代入,得:2∠1=2a+2∠2
即:∠1=a+∠2
∴∠MCD=∠1-∠2=a
∵∠CMD=90°
∴∠CDB=180°-∠CMD-∠MCD=90°-a
1、
∵PC=PQ(前面简单证明我没写)
∴∠PCQ=∠PQC
又∠PCQ+∠PQC=∠APQ=2a
∴∠PCQ=a
∵∠CPD=90°(等腰三线合一)
∴∠CDB=180°-∠CPD-∠PCQ=90°-a
2、
画好图后,连接CP并延长交AB于E点。
设∠PCQ=∠1,∠PCA=∠2,∠APE=∠3
∵AP=AC
∴∠PAC=∠PCA=∠2,∴2∠2=∠3
∵PC=PQ
∴∠PCQ=∠PQC=∠1,∴2∠1=∠APQ+∠3=2a+∠3
将2∠2=∠3代入,得:2∠1=2a+2∠2
即:∠1=a+∠2
∴∠MCD=∠1-∠2=a
∵∠CMD=90°
∴∠CDB=180°-∠CMD-∠MCD=90°-a
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