Question

高二数学：已知0≤x≤2,不等式-1≤tx^2-2x≤1恒成立,则t的取值范围

已知0≤x≤2,不等式-1≤tx^2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是___________求解，要过程

Answer 1

令f（x）=tx²-2x
那么f（x）≤1
tx²-2x≤1
t≤(1+2x)/x²=1/x² +2/x =（1/x +1）²-1
0≤x≤2 那么1/x≥1/2
所以t≤（1/2 +1）²-1 =5/4
又因为f（x）≥-1
同理得
t≥ -1/x² +2/x =-（1/x -1）²+1
0≤x≤2 那么1/x≥1/2 当x=1时
t取最小值1
所以1≤t≤5/4

希望对你有帮助，顺祝愉快！

Answer 2

已知0≤x≤2,不等式-1≤tx^2-2x≤1恒成立可以等价为
| t*（x-1/t）^2-1/t | <1
当0<1 /t <=2 即是t>=1/2 有| 1/t |<1 解得t>1
当1 /t >2 即是0< t<1/2 即有 | 2*2t-2*2 |<1 解得 3/4<t<5/4
当t<0,函数图像开口向下，对称轴在x负半轴上，此时有 | 2*2t-2*2 |<1 无解
所以t>1

Answer 3

令f（x）=tx²-2x
那么f（x）≤1
t≤1/x² +2/x =（1/x +1）²-1
0≤x≤2 那么1/x≥1/2
所以t≤（1/2 +1）²-1 =5/4
又f（x）≥-1 t≥ -1/x² +2/x =-（1/x -1）²+1
0≤x≤2 那么1/x≥1/2 当x=1时
t取最小值1
所以1≤t≤5/4

Answer 4

2x-1/x^2=<t<=(2x+1)/x^2 (x不等于0时) 求出不等式两边最大值 即可 x=0时 恒成立。。！！