Question

泰勒公式问题

有两个问题。
问题一：图中①那里的多项式，相乘为什么只取x^3的项，和x的幂小于3的项？
问题二：（II）是求（1+x^2/2）*cos x是x的几阶无穷小。想问，为什么cos x只写到5阶？为什么不再继续多写几阶？

Answer 1

1、Taylor展式展到几阶，都是需要看具体的题。
本题中，结论明确说是x^3的高阶无穷小，因此做Taylor展式时就要展到x^3项。
这个意思是指f(x)展到x^3项，具体到构成f(x)的每一个函数要展到多少阶，
就要看相乘的结果了。
比如e^x，它不与别的函数相乘，因此将e^x直接展到x^3项。
sinx与x相乘，因此sinx只需展到x^2项即可，高于x^2的项（即x^3，x^4.。。）
与x相乘后都是x^3的高阶无穷小了，不需要展了。
因此事实上本题sinx展的已经多了，不需要-x^3/6这一项。
即sinx=x+0x^2+o(x^2)已经足够了。
相乘后就是多项式的合并同类项了，当计算到x^3这一项的 系数不为0后，
我们已经就得到结果，f(x)是x^3的同阶无穷小，高于x^3的项都是高阶无穷小，
因此不需要计算了。
2、你写得问题不对吧。(1+x^2/2)*cosx不是无穷小，怎么谈写到多少阶？

追问

问题2：完整问题：确定以下无穷小量当x→0时关于x的阶数（1+x^2/2）*cos x-1

追答

2、将cosx的Taylor展式展开，要展到多少阶才可以呢？
分析的话是没有什么要诀的，只能是尽量多展。
在展得过程中试探一下，看看要展到多少阶。
比如cosx＝1－x^2/2+o(x^2)，与前面的1+x^2/2相乘立即得到
1－x^4/4，有x^4这一项，因此cosx的Taylor展式至少要展到x^4项，
x^4的项与1+x^2/2中的1的乘积还是x^4的项，这样的项就必须保留。
因此继续展，cosx＝1－x^2/2+x^4/4!+o(x^4)，与1+x^2/2相乘
后得到1－(1/4－1/4!)x^4+o(x^4)，x^4项的系数不是0，已经得到想要的结果。
因此这就是最终的结果，也就是展的过程慢慢试探。
不会试探的话就一开始将cosx尽量多展，然后做要求的运算，一直到得到
x^k的系数不为0为止。

Answer 2

问题一：他这是知道答案是三阶无穷小了，所以只展到x^3，你自己做的话可以多展一点，比较一下看是展开到多少阶系数不为0就展开到那一项。
具体展多少项，还是看熟练程度，多做点题目就有感觉了。
问题二：应该是（1+x^2/2）*cos x-1吧。。。

理由还是和上面的一样，你可以展到7，但是你会发现x^5这一项系数已经不为0了，后面的就没必要了。