Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别

直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1、A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求A1B与平面ABD所成角的正弦值

Answer 1

以C为原点，CA、CB、CC1所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，使A、B、C1落在坐标轴的正半轴上。令AD的中点为F，AC＝a。则：
A（a，0，0）、B（0，a，0）、C（0，0，0）、C1（0，0，2）、A1（a，0，2）。
由中点坐标公式，容易得出：D（0，0，1）、E（a/2，a/2，1）、F（a/2，0，1/2）。

∵G是△ABD的重心，∴BG/FG＝2，由定比分点坐标公式，得：G的坐标是（a/3，a/3，2/3）。
向量BG＝（a/3，－2a/3，2/3）、向量EG＝（－a/6，－a/6，－1/3）。
∵G是E在平面ABD上的射影，∴EG⊥BG，∴向量EG·向量BG＝0，
∴－a^2/18＋2a^2/18－2/9＝0，∴a^2/18＝2/9，∴a＝2。
∴B的坐标是（0，2，0）、E的坐标是（1，1，1）、G的坐标是（1/3，1/3，2/3）。

∴｜EG｜＝√（4/9＋4/9＋1/9）＝1、｜BE｜＝√（1＋1＋1）＝√3。
∴sin∠EBG＝｜EG｜/｜BE｜＝1/√3＝√3/3。
∵G是E在平面ABD上的射影，∴∠EBG就是A1B与平面ABD所成的角。
∴A1B与平面ABD所成角的正弦值是√3/3。