在△ABC中角ABC所对的边分别为a、b、c,且bsinB-asin+A+(b+c)sin+C=0.
(1)求角A的大小
(2)若角A的角平分线AD与BC交于点D，AD＝4,AC＝6.求△ABC的面积。

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房初瑶0By

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摘要 (1)根据正弦定理，有：a/sinA = b/sinB = c/sinC所以可以将式子化简为：b*sinB - a*sinA + (b+c)*sinC = 0将正弦定理代入式中，得：b*(2S/ab) - a*(2S/ac) + (b+c)*(2S/bc) = 0其中，S为三角形的面积，代入面积公式得：b*b*sinA - a*a*sinB + (b+c)*c*sinA = 0将sinA和sinB用Cosine规则表示；cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bccosB = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac则式子可以写为：b^3 - a^3cosB + bc^2 - abc cosA = 0代入余弦定理的式子cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc，得到：b^3 + c^3 - a^3 - 3abc = 0再代入 b ＝ ccosA + bsinA，再将其化简得：(a^2 - b^2 - c^2)sinA = 0因为A不可能为0度或180度，所以有：a^2 = b^2 + c^2再代入余弦定理求cosA的式子中，得到：cosA = 1/2所以角A的大小为60度。(2)根据角平分线定理，有：BD/DC = AB/AC又因为 AD＝4，AC＝6，所以 BD/DC = 2/3。设 BD = 2x，DC = 3x，则 AB = 5x，BC = b。根据海伦公式，有：s = (6 + b + 5x)/2其中，s为三角形的半周长。根据面积公式S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，有：S = √[(6 + b + 5x)/2 * (6 - b + 5x)/2 * (b + 5x - 6)/2 * (6 + b + 5x)/2]将BD = 2x，DC = 3x代入得：S = √[(3b + 11x)(-3b + 11x)(b - x)(3b + 11x)]/4因为 BD/DC = 2/3，所以可以得到 b/x = 5/2，解得 b = 10/3 x。将b代入面积公式中，得：S = √784/81 * x^4/16 = 7x^2/9又因为 △ABC 的面积与 x 有关，所以只需要最大化 S 即可

咨询记录 · 回答于2023-04-20