Question

17. 二元函数 z=e^(x^2-y^2)-lnx/y 的全微

Answer 1

问：17. 二元函数 z=e^(x^2-y^2)-lnx/y 的全微

答：该函数的全微为： ∂z/∂x=2xe^(x^2-y^2)-1/x ∂z/∂y=-2ye^(x^2-y^2)-1/y 全微是求导数的一种方法，它可以用来求出函数在某一点处的局部极值。全微可以用来求函数的极值，也可以用来求函数的极大值和极小值。 全微的计算方法是：首先，将函数表示为一个多元函数，然后，对每一个变量求偏导数，最后，将每一个变量的偏导数组合成一个向量，这就是函数的全微。 例如，上面的函数z=e^(x^2-y^2)-lnx/y，其全微为： ∂z/∂x=2xe^(x^2-y^2)-1/x ∂z/∂y=-2ye^(x^2-y^2)-1/y 全微可以用来求函数的极值，也可以用来求函数的极大值和极小值。当函数的全微为0时，表明函数在该点处取得极值，如果全微大于0，则表明函数在该点处取得极大值，如果全微小于0，则表明函数在该点处取得极小值。

问：过程能详细一点吗？

答：最详细 了

问：1/x和1/y是怎么来的？

答：∂z/∂x = 2xe^(x^2-y^2) - lnx/y^2∂z/∂y = -2ye^(x^2-y^2) + lnx/y^3

答：先计算函数 z 的偏导数

答：然后计算函数 z 的二阶偏导数

答：∂2z/∂x2 = 2e^(x^2-y^2) + 2x^2e^(x^2-y^2) + lnx/y^2∂2z/∂y2 = -2e^(x^2-y^2) - 2y^2e^(x^2-y^2) + 3lnx/y^3∂2z/∂x∂y = -4xye^(x^2-y^2) - lnx/y^2

答：最后，我们可以计算函数 z 的全微分

答：dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy + (∂2z/∂x2)dx2 + (∂2z/∂y2)dy2 + (∂2z/∂x∂y)dxdy

答：= (2xe^(x^2-y^2) - lnx/y^2)dx + (-2ye^(x^2-y^2) + lnx/y^3)dy + (2e^(x^2-y^2) + 2x^2e^(x^2-y^2) + lnx/y^2)dx2 + (-2e^(x^2-y^2) - 2y^2e^(x^2-y^2) + 3lnx/y^3)dy2 + (-4xye^(x^2-y^2) - lnx/y^2)dxdy

答：函数 z=e^(x^2-y^2)-lnx/y 的全微分为上面这个

答：你能看懂吗