Question

6.当A取何值时,齐次线性方程组x1+2x2+x3=04x1+5x2+x3=03x1+7x2+2x3=0有非零解

Answer 1

问：6.当A取何值时,齐次线性方程组x1+2x2+x3=04x1+5x2+x3=03x1+7x2+2x3=0有非零解

问：数学，写过程得答案就行

答：将齐次线性方程组写成增广矩阵形式： $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\4 & 5 & 1 & 0 \\3 & 7 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$ 对其进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵： $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\0 & -3 & -3 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$ 由于该矩阵的秩为3，而未知数的个数为3，因此该方程组有非零解当且仅当系数矩阵的秩小于3，即系数矩阵的行列式为0。 $$\left|\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\4 & 5 & 1 \\3 & 7 & 2\end{matrix}\right| = -2$$ 因此，当$A=-2$时，该方程组有非零解。

问：还有第七题

答：你用文字的形式发给我 图片看不到

问：当n取何值时，非齐次线性方程组x1+x2+x3=1，-x1+2x2-4x3=2，2x1++5x2-x3=n有解？在有解情况下求通解

答：将非齐次线性方程组写成矩阵形式： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \\ 2 & 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}$根据行列式的定义，如果行列式 $det(A) \neq 0$，则矩阵 $A$ 可逆，非齐次线性方程组有唯一解。计算行列式 $det(A)$： $det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \\ 2 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \times 2 \times (-1) + 1 \times (-4) \times 2 + (-1) \times 1 \times 5 - 1 \times 2 \times (-4) - 1 \times (-1) \times 2 - 1 \times 1 \times 5 = -36$当 $n \neq 6$ 时， $det(A) \neq 0$，非齐次线性方程组有唯一解。当 $n = 6$ 时， $det(A) = 0$，非齐次线性方程组有无穷多解。下面求 $n \neq 6$ 时的通解：

答：将增广矩阵$[A|B]$化为阶梯形矩阵： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -4 & 2 \\ 2 & 5 & -1 & n \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & 7 & -3 & n-2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 24 & n-23 \end{pmatrix}$解得$x_3=\frac{n-23}{24}$，代入第二行得$x_2=x_3+1=\frac{n-23}{24}+1=\frac{n+1}{24}$，代入第一行得$x_1=1-x_2-x_3=1-\frac{n+1}{24}-\frac{n-23}{24}=-\frac{n}{12}$。 因此，当$n\neq 6$时，非齐次线性方程组的通解为： $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{n}{12} \\ \frac{n+1}{24} \\ \frac{n-23}{24} \end{pmatrix}$