Question

如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,AD=DC=CB=2，∠CAB=30°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD,CF=3

(1)求证：BC⊥平面ACFE
(2)设点M为EF的中点，求二面角B-AM-C的余弦值

Answer 1

图呢？

追问

木有 能否试着自己画一个？

追答

∵AB∥CD，AD=DC，∠CAB=30°

∴∠ACD=∠DAC=∠CAB=30°

∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=30°+30°=60°

又∵梯形ABCD中AD=CB

∴∠DAB=∠ABC=60°

又∵∠CAB=30°，△ABC中∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB

∴∠ACB=180°-60°-30°=90°

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE为矩形

∴BC⊥平面ACFE

 

（2）设N是AM的中点，连接BN、CN、CM

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD=DC=CB=2

∴AB=4，AC=2根号3

∵点M为EF的中点，四边形ACFE为矩形

∴AM=CM，FM=1/2AC=根号3，△AFM是Rt△，∠F=直角，CF=AE

又∵AF=CE=3

∴AM=CM=根号【3²+（根号3）²】=2根号3

∴△ACM是正三角形

又∵N是AM的中点，

∴CN⊥AM，CN=根号(（2根号3)²-（根号3）²)= 3

∵平面ACFE⊥平面ABCD，CB⊥AC，CB⊥CE

∴BC⊥CM

在△BCM中，∠BCM=Rt∠，BC=2，CM=2根号3

∴BM=根号[（2根号3）²+2²]=4

又∵AB=4

∴AB=BM，又∵N是AM的中点

∴BN⊥AM，BN=根号(4²-（根号3）²)=根号13

∴二面角B-AM-C=∠BNC   又∵△BNC是直角三角形，

∴二面角B-AM-C的余弦值=3/根号13

Answer 2

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